jueves, 11 de febrero de 2010

LA COMPRENSIÓN DEL SISTEMA DECIMAL DE NUMERACIÓN

LA COMPRENSIÓN DEL SISTEMA DECIMAL DE NUMERACIÓN
Y PROCESOS DE REPRESENTACIÓN.

Jorge Castaño García
jorgecastagno@yahoo.es
Proyecto Cognición y Escuela
Pontificia Universidad Javeriana

En este artículo se estudia la complejidad cognitiva que supone la apropiación del sistema decimal de numeración por parte de los niños de educación básica. Se argumenta que la apropiación del sistema decimal de numeración está comandada por el lenguaje común y por la capacidad de los niños de operar con las relaciones lógicas involucradas en la sintaxis que fundamenta este sistema. De este análisis se derivan algunas ideas para orientar la intervención didáctica en el aula.
Palabras claves: Representaciones numéricas, Aprendizaje de las matemáticas, Sistema decimal de numeración.

El tiempo que invierte la escuela en la enseñanza del sistema decimal de numeración (en adelante SDN) es considerable. Diferentes estudios, desde perspectivas distintas, aceptan que los niños necesitan realizar un trabajo arduo para llegar a dominar el sistema de escritura de las expresiones numéricas, trabajo que se prolonga durante varios años. A pesar de los esfuerzos de los maestros y de los niños se constata que, aún en los últimos grados de primaria, hay un número importante de estudiantes que cometen errores al escribir los números; y en algunos casos, aun cuando logran escribir y leer correctamente las expresiones numéricas, muchos no parecen comprender de forma adecuada la sintaxis que rige el sistema. Los pobres resultados en gran medida tienen que ver con el método de enseñanza, parece poco efectiva la práctica bastante generalizada de reducir la enseñanza del SDN al aprendizaje de la sucesión numérica, dejando de lado -o por lo menos no prestando la suficiente atención- los componentes lógicos encerrados en este sistema. Diferentes autores, desde perspectivas distintas, han analizado la complejidad del SDN y las dificultades que este sistema representa para los niños (Lerner, D. (1992); Lerner, D., Sadovsky, P. & Wolman, S. (1994); Dehaene, S. (1997); Fernández, JA. (2007); Terig, Fl & Wolman, S. (2007)).
Algunos hechos para reflexionar
Algunos hechos ilustran algunas de las dificultades que presentan algunos niños a quienes se les enseña el SDN. El análisis de estos hechos puede ser útil para reflexionar sobre las prácticas de enseñanza de este campo de la aritmética.
A los niños se les escapa el valor relativo. Muchos niños tienen dificultad para reconocer el valor relativo de las cifras que componen el numeral. Cuando se les pide que identifiquen la cantidad representada por las cifras de un numeral, algunos se limitan a considerar el valor de la cifra independientemente de su posición (Kamii, 1988).
Los niños parecen desconocer la idea de aditividad que encierra el registro verbal. Cuando algunos niños hacen cuentas sin usar los algoritmos formales de las operaciones y se enfrentan al problema de agregar a diez (o 20, 30.etc.) una cantidad de unos menor que 9 por ellos conocida, no usan el significado aditivo encerrado en el registro verbal (“a diez se agrega seis” da “dieciséis”, “a treinta se agrega seis” da “treinta y seis”); más bien, se les verá contando (11, 12, 13,…,16 o 31, 32,…,36). A pesar de insistírseles en que traten de anticipar el resultado, los niños no asocian el carácter aditivo de la expresión verbal.

A los niños les resulta difícil coordinar dos o más tipos de unidades. En tareas en las que se pide dar cuenta de cuántos grupos de diez pueden formarse con cierta cantidad mayor de cien, los niños muestran las dificultades que tienen para coordinar diferentes unidades decimales. Por ejemplo, 147 objetos se empacan de a 10 en cada bolsa, ¿cuántas bolsas se necesitan? Algunos niños de segundo grado que intentan resolver la tarea contando de 10 en 10 (10, 20, 30, …), mientras controlan con sus dedos la cantidad de dieces contado (la cantidad de bolsas usadas), no terminan en 140, continúan contado 150, 160, 170,…. Cuando se les hace caer en la cuenta de que se pasaron, reinician el conteo, se detienen en 140, dudan. Algunos niños continúan diciendo 141 (mientras agregan un dedo a la colección de dedos que controla la cantidad de dieces contado –las bolsas utilizadas-, 142 (otro dedos más), etc. Cada unidad de la sucesión 141, 142, se ha vuelto una unidad de la sucesión de dieces; de esta forma llega al resultado de 21 bolsas.

En nuestras propias indagaciones hemos constatado que niños de segundo y tercero, capaces de contar, leer y escribir numerales en un rango al menos hasta 999 y que incluso ejecutan correctamente los algoritmos formales, al menos para calcular sumas y restas, presentan gran dificultad para encontrar cuántos grupos de 10 pueden formarse con una cantidad expresada por numerales de tres cifras (¿cuántas cajas de 10 pueden llenarse con 426 osos?) Aquellos niños que logran resolver correctamente tareas como éstas, siempre muestran gran capacidad para manejar las expresiones numéricas apoyándose en los significados sugeridos por el registro verbal, por el contrario, aquellos niños que muestran flaquezas en el manejo de estos significados no logran resolverlas exitosamente (Castaño J y otros 2006)

Hechos como estos pueden leerse como evidencias de la complejidad cognitiva que supone para los niños la comprensión del SDN y de los vacíos que dejan las formas de enseñanza. Un análisis de la sintaxis del SDN puede ofrecer herramientas para entender las demandas lógicas que su comprensión hace a un niño.

Demandas lógicas que la compresión del SDN hace a los niños
El SDN es un sistema semiótico de representación de la cantidad de elementos que tiene una colección. Este sistema tiene dos registros distintos: el verbal (como cuando se dice o escribe “trescientos cuarenta y siete”) y el indo arábigo (como cuando se escribe “347”). Como en todo sistema semiótico, estos dos registros tienen un sistema de reglas sintácticas propias que posibilitan acceder al significado de las expresiones que se emiten en el sistema.

Desde el punto de vista formal, el registro indo arábigo es una forma de representar por escrito y de forma abreviada un proceso de agrupaciones y reagrupaciones que da cuenta de la cantidad de elementos de una colección. Por ejemplo, escribir el numeral que representa la cantidad de elementos que hay en una colección que posee “cuatrocientos treinta y cinco” elementos consiste en formar todos los grupos de diez que sea posible hacer (43 grupos de diez y 5 elementos sueltos), y con los 43 grupos de diez se forma otro de orden mayor (compuesto por cuatro grupos diez grupos de diez elementos cada uno) y quedan sobrando 3 grupos de diez. El resultado final de estas agrupaciones puede representarse 4 de 10 de 10 + 3 de 10 + 5 de 1. Podría decirse que el registro indo arábigo tiene una sintaxis polinomial, en el sentido como en matemática se define un polinomio (4*102 + 3*101 + 5*100) .

El registro verbal se rige por una sintaxis distinta, una expresión verbal numérica está compuesta de segmentos de pares de palabras (o contracciones de éstas) enunciados uno después del otro. La primera palabra o el sufijo de cada segmento hace referencia a un dígito e indica las veces que se repite la unidad decimal del sistema (mil, cientos, dieces), y actúa como un operador multiplicativo sobre la palabra que se enuncia a continuación de ésta y que hacen referencia a una unidad decimal (a una potencia de diez: diez, cien, mil, etc.). En muchas de estas expresiones el último segmento está formado por una única palabra que corresponde a un dígito y va antecedida de la expresión “y”. Hay una regla adicional del sistema: los segmentos se expresan en orden estricto según la unidad decimal, empezando por la de mayor valor.
Primer segmento Segundo segmento Tercer segmento
Cuatro cientos tre-inta cinco
4 de 100 3 de 10 5

Aunque el registro verbal presenta esa estructura aditivo-multiplicativa puede reducirse a una estructura estrictamente aditiva.
Primer segmento Segundo segmento Tercer segmento
Cuatrocientos treinta Cinco
400 30 5

Son varias las constataciones que se pueden hacer al analizar las demandas que hace la compresión de estos dos registros

Primera constatación. En los términos de Duval (2004) no existe homogeneidad entre los dos registros. El registro verbal no enuncia el segmento correspondiente a las unidades decimales que tendrían que ir precedidas de la palabra cero, en cambio en el registro indo arábigo hay que indicar con “0”, en el lugar de adecuado, que no quedaron unidades sueltas de ese orden decimal. En el registro indo arábigo las segundas palabras de cada segmento (las unidades decimales: cientos, miles, etc.) no se codifican con marcas específica, éstas quedan determinadas por la posición que ocupa en el numeral el dígito correspondiente a la primera palabra de cada segmento.

3 0 0 9
Tres mil nueve

Segunda constatación. Es clara la complementariedad de los dos registros para enriquecer el significado. El registro indo arábigo ofrece la idea de distribuciones de encajamientos (grupos de diez de diez, grupos de diez y sueltos) pero este registro no posibilita la idea de un todo homogéneo de unos, que es lo que permite el registro verbal; por ejemplo, que una centena, no tenga que representarse únicamente como 1 grupo de 10 de 10 sino además y, de forma mucho más simple, como un grupo de 100.

Así los dos sistemas de representación numérica se enriquecen mutuamente y el niño podrá aprovecharse de esto, si cuenta con los recursos intelectuales para hacer conversiones de un registro a otro. “Para los sujetos una representación puede funcionar verdaderamente como representación, es decir, permitirles el acceso al objeto representado, solo cuando se cumplen dos condiciones: que dispongan de al menos dos sistemas semióticos diferentes para producir la representación de un objeto, de una situación, de un proceso… y que “espontáneamente” puedan ejecutar la operación de conversión, sin siquiera notarlo”. (Duval et al., 2004, p. 31).

Tercera constatación. El registro verbal no es homogéneo. Mientras para los numerales de dos cifras las expresiones “veinte”, “treinta”, “cuarenta”, etc. no indican de manera directa las ideas de “dos dieces”, tres dieces”, “cuatro dieces”, etc., algunas expresiones verbales de los numerales de tres cifras muestran de forma más explícita el operador multiplicativo sobre las unidades de “cien”: dos cientos”, “tres cientos”, etc. En los numerales de cuatro cifras las expresiones verbales presentan de forma más clara y consistente los operadores sobre mil.
Cuarta constatación. Una cuarta cuestión tiene que ver con ¿qué hace que las representaciones numéricas, en sus dos registros, no se queden como yuxtaposición de segmentos?, ¿qué permite pasar de expresiones como “cuatrocientos/cuarenta/siete” compuesta de varios segmentos a una expresión de la forma “cuatro-cientos-cuarenta- y-dos” como representante de un todo único y homogéneo y a la vez ofrezca una idea de la extensión de una colección. Aquí aparece la doble dimensión, ordinal y la cardinal, del número que las expresiones numéricas han de permitir operar.

La dimensión ordinal del número está dada por el lugar que ocupa una expresión particular en la sucesión (sea en el registro verbal o en el indo arábigo), este lugar habla de la extensión de la cantidad que representa una expresión. Para que se dé esto se necesita de una operación de composición que se da en el registro verbal ya que reúne en un todo homogéneo los segmentos de la expresión verbal y este todo se expresa como un lugar en un orden. A este todo no se accede por una sucesión “+1” homogénea, más bien es heterogénea, unas veces se incrementarán sucesivamente unidades de primer orden, otras unidades de 10, otras de 100. Aquí radica en gran parte las dificultades de los niños para apropiarse del significado de cantidad de las expresiones del SDN. En verdad para hacerse a la idea del lugar de una expresión por la vía del registro verbal, no puede limitarse a trabajar sobre una única sucesión -la de los unos-, también es necesario trabajar sobre la de los dieces y las de los cientos. Pero no se trata de trabajar estas sucesiones por separado es necesario ponerlas en relación, para coordinarlas y trabajarlas de forma simultánea (recuérdese los dos casos expuestos sobre coordinación de unidades expuestos en la primera parte de este artículo).

Algunas consecuencias para la enseñanza
Las constataciones recién hechas muestran que la posibilidad de asignar significados a los diferentes registros numéricos hace demandas lógicas variables a los niños. El registro indo arábigo por tener una sintaxis polinomial exige la capacidad de componer “encajamientos” (componer correspondencias múltiples, una grupo de 10 de 10 equivale a un grupo de 100) y esta es un operación que no está al alcance de un niño que recién está construyendo un pensamiento aditivo. El registro verbal, por tener una sintaxis aditivo-multiplicativa, un poco más elemental que la anterior, exige del sujeto ser capaz de aplicar operadores multiplicativos y de componer aditivamente partes. Esta interpretación requiere del niño poder coordinar unidades de diferente valor, de tal forma que pueda operar con ellas de forma simultánea. Y finalmente, el registro verbal ofrece la oportunidad de una interpretación más elemental, que requiere exclusivamente de composiciones aditivas, en la que no existen unidades heterogéneas, sino unidades del mismo orden –todas unidades de uno-. Las exigencias que hace cada tipo de interpretación del los registros numéricos, determinan niveles de complejidad en su comprensión. Un niño que no pueda coordinar unidades de diferente valor para operar con ellas, se verá obligado a homogenizarlas para operar en un sistema que permita operar con un único tipo de unidades. Un niño que no pueda hacer composiciones de correspondencia múltiple cuando más podrá operar en un sistema de tipo aditivo-multiplicativo.
A partir del análisis precedente parece razonable afirmar que el proceso de enseñanza debe propiciar que el registro verbal sea el que comande las interpretaciones del registro indo arábigo en los primeros años de escolaridad, por lo que conviene que en el proceso de enseñanza del SDN se apoye intencional y sistemáticamente a los niños en el reconocimiento y apropiación de la sintaxis del registro verbal numérico. Un camino en esta dirección requiere promover que los niños produzcan escrituras no convencionales de los numerales más cercana a sus comprensiones iníciales; primero de tipo aditivo y, un poco después, cuando haya alcanzado cierto nivel de consolidación de este tipo de significado, escrituras tipo aditivo-multiplicativo. Sobre estos registros provisionales conviene favorecer la producción de procedimientos y escrituras para hacer cuentas. A medida que los niños consoliden el manejo del registro verbal se introducen el registro indo arábigo, primero interpretado desde la lógica del registro verbal. Como un momento avanzado del proceso se buscará interpretar el registro indo arábigo en su lógica polinomial, momento en el que podría justificarse la presentación de los algoritmos formales.

REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS
Castaño, J., Forero, A., Baldrich. D. & Puentes S. (2006). Evaluación del pensamiento numérico en niños de segundo de primaria. Prueba Euler II. El sub-campo del sistema decimal de numeración. Tesis de grado no publicada. Pontificia Universidad Javeriana, Bogotá, Colombia.
Castaño, J., Forero, A., Latorre, T. & Ramírez, D. (2005). Exploración de niveles de competencia en el pensamiento numérico en niños de segundo de primaria. Validación de la prueba Euler II. Tesis de grado no publicada. Pontificia Universidad Javeriana, Bogotá, Colombia.
Castaño, J., Negret, J.C. & Robledo, A.M. (1991). Un marco para comprender la construcción del sistema decimal de numeración por parte del niño. Bogotá: Pontificia Universidad Javeriana. Facultad de Psicología. DIE-CEP.
Dehaene, S. (1997): The Number Sense: How the Mind Creates Mathematics.Oxford University Press, Oxford.

Lerner, D., Sadovsky, P. & Wolman, S. (1994).«El sistema de numeración: un problema didáctico», en Cecilia Parra e Irma Saiz, (comps.): Didáctica de las matemáticas. Aportes y reflexiones. Buenos Aires. Paidós.

Lerner, D. (1992). La matemática en la escuela. Aquí y ahora. Buenos Aires. Aique.

Duval, R. (2004). Semiosis y pensamiento humano. Registros semióticos y aprendizajes intelectuales. Cali: Universidad del Valle, Instituto de Educación y Pedagogía, Grupo de Educación Matemática.
Fernández, JA. (2007). Hacia una revisión crítica de la enseñanza del número de dos cifras en Revista Iberoamericana de Educación Matemática.No 11, pp. 134-146.
Kamii, C. (1986). El niño reinventa la aritmética. Madrid: Visor, Aprendizaje.
Kamii, C. (1987). Reinventando la aritmética II. Madrid: Visor, Aprendizaje.
Kamii, C. (1988). Valor de Posición. Una explicación de sus dificultades e implicaciones educacionales para los alumnos de primaria. Cuadernos de Pedagogía. Vol 9 No 2.
Orozco, M., Guerrero, D. & Otálora, Y. (2007). Los errores sintácticos al escribir numerales en rango superior. Infancia y aprendizaje, 30 (2), 147-162. Recuperado el el 26 de febrero de 2007, de http://objetos.univalle.edu.co/files/
Orozco, M. & Hederich, C. (1997). Construcción de la operación multiplicativa y del sistema de notación en base 10: Una relación posible. Santiago de Cali: Centro de Investigaciones y Estudios Avanzados en Psicología, Cognición y Cultura, Universidad del Valle.
Orozco, M. & Hederich, C. (2002). Errores de los niños al escribir numerales dictados. Recuperado el 20 de enero de 2004, de http://www.univalle.edu.co/~cognitiv.
Terig, Fl & Wolman, S. (2007). El sistema de numeración: consideraciones acerca de su enseñanza en Revista Iberoamericana de Educación. N.º 43, pp. 59-83





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3 comentarios:

  1. esta pagina es un asco no dise nada de lo que buscas les recomiendo una paguina mejor es un asco esto

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  2. me gusta mucho lo que dijeron aquí sigan así
    buena suerte

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